movimiento Péndular

Péndulo

El péndulo (del lat. pendŭlus, pendiente)1 es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo.
Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera.
Sus usos son muy variados: medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo, ...), medida de la intensidad de la gravedad, etc.

Péndulo en la Catedral Metropolitana, Ciudad de México.

Péndulo simple en movimiento armónico con oscilaciones pequeñas.
 

Péndulo simple o matemático

Artículo principal: Péndulo simple

Componentes del peso de la masa pendular.
También llamado péndulo ideal está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo.
Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.

Ecuación del movimiento

Para escribir la ecuación del movimiento observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.
Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos
F_\text{t} = - mg\sin\theta = ma_\text{t} \,
donde el signo negativo tiene en cuenta que la F_\text{t} tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular
a_\text{t} = \ell \ddot\theta\ \,
obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple
\ell \ddot\theta\ + g\sin\theta = 0\,

Período de oscilación


Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º).
El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, aquel depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:
T \approx 2 \pi \sqrt{\ell\over g}
Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:
T = 4\sqrt{\ell\over g}K\left(\sin \frac{\varphi_0}{2}\right) = 4\sqrt{\ell\over g} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2 \frac{\varphi_0}{2}\sin^2 \theta}}
Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:
T = 2 \pi \sqrt{\ell\over g} \left[1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2 \frac{\varphi_0}{2}+ \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\sin^4 \frac{\varphi_0}{2}+ \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2\sin^6 \frac{\varphi_0}{2}+ \dots \right]

Solución de la ecuación de movimiento


Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud \phi_0 = 0,999\pi (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud \phi_0 = 0,25\pi (gris).
Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:
t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int_0^{\phi(t)} \frac{ld\theta}{\sqrt{E-U(\phi)}} = = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta -\cos\phi_0}} = \sqrt{\frac{l}{4g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\sin^2\frac{\phi_0}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}}
Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:
E = -mgl \cos \phi_0\;, es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud \phi_0\;.
U(\phi) = -mgl \cos \phi\;, es la energía potencial.
Realizando en variable \sin\xi = \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\phi_0}{2}}\;, la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como:
t = \sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\Phi} \frac{d\xi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\phi_0}{2}\sin^2\xi}} \Rightarrow \qquad \phi(t) = 2\arcsin \left(\mbox{sn}\ \sqrt{\frac{g}{l}}t \cdot \sin{\frac{\phi_0}{2}}\right)
Donde:
\mbox{sn}(t)\;, es la función elíptica de Jacobi tipo seno.
\sin\Phi = \frac{\sin\frac{\phi(t)}{2}}{\sin\frac{\phi_0}{2}}
El lagrangiano del sistema es \mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 - mgl\cos{\theta}, donde \theta es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y l es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: l^2\ddot{\theta} + gl\sin{\theta} = 0. Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo.

Péndulo esférico

Artículo principal: Péndulo esférico

Péndulo de Foucault en el hemisferio sur.
Un péndulo esférico es un sistema con dos grados de libertad. El movimiento está confinado a la una porción de superficie esférica (de radio l) comprendida entre dos paralelos. Existen dos integrales de movimiento, la energía E y la componente del momento angular paralela al eje vertical Mz. La función lagrangiana viene dada por:
L = \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta}^2+ \dot{\phi}^2\sin^2\theta)+mgl\cos\theta
Donde \phi es el ángulo polar y \theta es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:
\begin{matrix} \cfrac{d}{dt}\cfrac{\part L}{\part\dot\theta} - \cfrac{\part L}{\part\theta}=0 & \Rightarrow & l\ddot\theta - l\dot{\phi}^2\sin\theta\cos\theta + g \sin\theta = 0\\ \\ \cfrac{d}{dt}\cfrac{\part L}{\part\dot\phi} - \cfrac{\part L}{\part\phi}=0 & \Rightarrow & \cfrac{d}{dt}(ml^2\dot{\phi}\sin^2\theta) = 0 \end{matrix}
La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y por tanto lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:
\dot\phi = \frac{M_z}{ml^2\sin^2\theta} \Rightarrow \qquad L = K(\dot\theta)+ U_{ef}(\theta) = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + \frac{M_z^2}{2ml^2\sin^2\theta}-mgl\cos\theta
Y el problema queda reducido a un problema unidimensional.

Período

El movimiento de un péndulo esférico en general no resulta periódico, ya que es la combinación de dos movimientos periódicos de períodos generalmente inconmensurables. Sin embargo el movimiento resulta cuasiperiódico, lo cual significa que fijado una posición y una velocidad previas del movimiento existe un tiempo T tal que el movimiento pasará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición con una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dada que la región de movimiento además resulta compacta, el conjunto de puntos la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos casquetes esféricos.

Solución de la ecuación de movimiento

Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de primera especie y tercera especie:
t = \sqrt\frac{ml^2}{2} \int \frac{d\theta}{\sqrt{E-U_{ef}(\theta)}} \qquad \phi = \frac{M_z}{l\sqrt{2m}} \int \frac{d\theta}{\sin^2\theta\sqrt{E-U_{ef}(\theta)}}

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