Movimiento circular

Movimiento circular.

En cinemática, el movimiento circular (también llamado movimiento circunferencial) es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio y centro fijos y velocidad angular constante.

Movimiento circular.

Conceptos

En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos que serían básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo:

Eje de giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).
Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional por tanto).
Velocidad angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minúscula, $\omega$ ).
Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minúscula, $\alpha$ ).

En dinámica de los movimientos curvilíneos, circulares y/o giratorios se tienen en cuenta además las siguientes magnitudes:

Momento angular (L): es la magnitud que en el movimiento rectilíneo equivale al momento lineal o cantidad de movimiento pero aplicada al movimiento curvilíneo, circular y/o giratorio (producto vectorial de la cantidad de movimiento por el vector posición, desde el centro de giro al punto donde se encuentra la masa puntual).
Momento de inercia (I): es una cualidad de los cuerpos que depende de su forma y de la distribución de su masa y que resulta de multiplicar una porción concreta de la masa por la distancia que la separa al eje de giro.
Momento de fuerza (M): o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro (es el equivalente a la fuerza agente del movimiento que cambia el estado de un movimiento rectilíneo).

Paralelismo entre el movimiento rectilíneo y el movimiento circular

Movimiento
Lineal	Angular
Posición	Arco
Velocidad	Velocidad angular
Aceleración	Aceleración angular
Masa	Momento de inercia
Fuerza	Momento de fuerza
Momento lineal	Momento angular

A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse y que resaltan las similitudes y equivalencias de conceptos y un paralelismo en las magnitudes utilizadas para describirlos. Dado un eje de giro y la posición de una partícula puntual en movimiento circular o giratorio, para una variación de tiempo Δt o un instante dt, dado, se tiene:

Arco descrito o desplazamiento angular

Arco angular o desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido en radianes y representado con la letras griegas

\varphi\,

(phi) o

\theta\,

(theta). Este arco es el desplazamiento efectuado en el movimiento circular y se obtiene mediante la posición angular (

\varphi_p

\theta_p

) en la que se encuentra en un momento determinado el móvil y al que se le asocia un ángulo determinado en radianes. Así el arco angular o desplazamiento angular se determinará por la variación de la posición angular entre dos momentos final e inicial concretos (dos posiciones distintas):

$\Delta\varphi = \varphi_f - \varphi_o \qquad \mbox{ó} \qquad \Delta\theta = \theta_f - \theta_o$

Siendo

\Delta\varphi

\Delta\theta

el arco angular o desplazamiento angular dado en radianes.

Si se le llama

e,

al espacio recorrido a lo largo de la trayectoria curvilínea de la circunferencia de radio

R,

se tiene que es el producto del radio de la trayectoria circular por la variación de la posición angular (desplazamiento angular):

$e = R\Delta\varphi = R(\varphi_f - \varphi_o) \qquad \mbox{ó} \qquad s = R\Delta\theta = R(\theta_f - \theta_o)$

En ocasiones se denomina

s,

al espacio recorrido (del inglés "space"). Nótese que al multiplicar el radio por el ángulo en radianes, al ser estos últimos adimensionales (arco entre radio), el resultado es el espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para expresar el radio.

Velocidad angular y velocidad tangencial

Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra $\omega\,$ (omega minúscula) y viene definida como:

$\omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\varphi_f - \varphi_o}{t_f - t_o} \qquad \mbox{ ó } \qquad \omega = \frac{d \varphi}{d t}$

Siendo la segunda ecuación la de la velocidad angular instantánea (derivada de la posición angular con respecto del tiempo).

Velocidad tangencial de la partícula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con módulo, dirección y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Si $v_t$ es el módulo la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radio R, se tiene que:

$v_t = \omega\,R$

Aceleración angular y tangencial

La aceleración angular es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra:

\alpha\,

y se la calcula:

$\alpha = \frac{d \omega }{d t}$

Si a_t es la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:

a_t = R \, \alpha \;

Período y frecuencia

El período indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Se define como:

$T=\frac{2\pi}{\omega}$

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo. Se mide en hercios o s^-1

$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$

Aceleración y fuerza centrípeta

Mecánica clásica

La aceleración centrípeta, también llamada normal o radial, afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. Se define como:

$a_c = a_n = \frac{v^2_t}{R}=\omega^2R$

La fuerza centrípeta es la fuerza que produce en la partícula la aceleración centrípeta. Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton (

\vec {F} = m \vec {a}

) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente relación:

$F_c=ma_c=\frac{mv^2}{R}=m\omega^2R$

Mecánica relativista

En mecánica clásica la aceleración y la fuerza en un movimiento circular siempre son vectores paralelos, debido a la forma concreta que toma la segunda ley de Newton. Sin embargo, en relatividad especial la aceleración y la fuerza en un movimiento circular no son vectores paralelos a menos que se trate de un movimiento circular uniforme. Si el ángulo formado por la velocidad en un momento dado es

\scriptstyle \alpha

entonces el ángulo

\scriptstyle \beta

formado por la fuerza y la aceleración es:

$\cos \beta = \frac{1+\cfrac{v^2}{c^2}(1-\cos^2\alpha)}{\sqrt{\left(1+\cfrac{v^2}{c^2}(1-\cos^2\alpha)\right)^2+\cfrac{v^4}{c^4}\cos^2\alpha\sin^2\alpha}}$

Para el movimiento rectilineo se tiene que

\scriptstyle \sin \alpha = 0

y por tanto

\scriptstyle \beta = 0

y para el movimiento circular uniforme se tiene

\scriptstyle \cos \alpha = 0

y por tanto también

\scriptstyle \beta = 0

. En el resto de casos

\scriptstyle \beta \ne 0

. Para velocidades muy pequeñas y ángulos expresados en radianes se tiene:

$\beta \approx \frac{v^2}{c^2} \cos\alpha \sin\alpha + O\left(\frac{v^4}{c^4}\right)$

Movimiento circular

Movimiento circular.

En cinemática, el movimiento circular (también llamado movimiento circunferencial) es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio y centro fijos y velocidad angular constante.

Movimiento circular.

Conceptos
En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos que serían básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo:

Eje de giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).

Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional por tanto).

Velocidad angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minúscula, $\omega$ ).

Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minúscula, $\alpha$ ).

En dinámica de los movimientos curvilíneos, circulares y/o giratorios se tienen en cuenta además las siguientes magnitudes:

Momento angular (L): es la magnitud que en el movimiento rectilíneo equivale al momento lineal o cantidad de movimiento pero aplicada al movimiento curvilíneo, circular y/o giratorio (producto vectorial de la cantidad de movimiento por el vector posición, desde el centro de giro al punto donde se encuentra la masa puntual).

Momento de inercia (I): es una cualidad de los cuerpos que depende de su forma y de la distribución de su masa y que resulta de multiplicar una porción concreta de la masa por la distancia que la separa al eje de giro.

Momento de fuerza (M): o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro (es el equivalente a la fuerza agente del movimiento que cambia el estado de un movimiento rectilíneo).

Paralelismo entre el movimiento rectilíneo y el movimiento circular

Movimiento

Lineal Angular

Posición Arco

Velocidad Velocidad angular

Aceleración Aceleración angular

Masa Momento de inercia

Fuerza Momento de fuerza

Momento lineal Momento angular

A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse y que resaltan las similitudes y equivalencias de conceptos y un paralelismo en las magnitudes utilizadas para describirlos. Dado un eje de giro y la posición de una partícula puntual en movimiento circular o giratorio, para una variación de tiempo Δt o un instante dt, dado, se tiene:

Arco descrito o desplazamiento angular
Arco angular o desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido en radianes y representado con la letras griegas $\varphi\,$ (phi) o $\theta\,$ (theta). Este arco es el desplazamiento efectuado en el movimiento circular y se obtiene mediante la posición angular ( $\varphi_p$ ó $\theta_p$ ) en la que se encuentra en un momento determinado el móvil y al que se le asocia un ángulo determinado en radianes. Así el arco angular o desplazamiento angular se determinará por la variación de la posición angular entre dos momentos final e inicial concretos (dos posiciones distintas):

$\Delta\varphi = \varphi_f - \varphi_o \qquad \mbox{ó} \qquad \Delta\theta = \theta_f - \theta_o$
Siendo $\Delta\varphi$ ó $\Delta\theta$ el arco angular o desplazamiento angular dado en radianes.

Si se le llama $e,$ al espacio recorrido a lo largo de la trayectoria curvilínea de la circunferencia de radio $R,$ se tiene que es el producto del radio de la trayectoria circular por la variación de la posición angular (desplazamiento angular):

$e = R\Delta\varphi = R(\varphi_f - \varphi_o) \qquad \mbox{ó} \qquad s = R\Delta\theta = R(\theta_f - \theta_o)$
En ocasiones se denomina $s,$ al espacio recorrido (del inglés "space"). Nótese que al multiplicar el radio por el ángulo en radianes, al ser estos últimos adimensionales (arco entre radio), el resultado es el espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para expresar el radio.

Velocidad angular y velocidad tangencial

Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra $\omega\,$ (omega minúscula) y viene definida como:

$\omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\varphi_f - \varphi_o}{t_f - t_o} \qquad \mbox{ ó } \qquad \omega = \frac{d \varphi}{d t}$

Siendo la segunda ecuación la de la velocidad angular instantánea (derivada de la posición angular con respecto del tiempo).

Velocidad tangencial de la partícula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con módulo, dirección y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Si $v_t$ es el módulo la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radio R, se tiene que:

$v_t = \omega\,R$

Aceleración angular y tangencial
La aceleración angular es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra: $\alpha\,$ y se la calcula:

$\alpha = \frac{d \omega }{d t}$
Si a_t es la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:

$a_t = R \, \alpha \;$

Período y frecuencia
El período indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Se define como:

$T=\frac{2\pi}{\omega}$
La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo. Se mide en hercios o s^-1

$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$

Aceleración y fuerza centrípeta

Mecánica clásica
La aceleración centrípeta, también llamada normal o radial, afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. Se define como:

$a_c = a_n = \frac{v^2_t}{R}=\omega^2R$
La fuerza centrípeta es la fuerza que produce en la partícula la aceleración centrípeta. Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton ( $\vec {F} = m \vec {a}$ ) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente relación:

$F_c=ma_c=\frac{mv^2}{R}=m\omega^2R$

Mecánica relativista
En mecánica clásica la aceleración y la fuerza en un movimiento circular siempre son vectores paralelos, debido a la forma concreta que toma la segunda ley de Newton. Sin embargo, en relatividad especial la aceleración y la fuerza en un movimiento circular no son vectores paralelos a menos que se trate de un movimiento circular uniforme. Si el ángulo formado por la velocidad en un momento dado es $\scriptstyle \alpha$ entonces el ángulo $\scriptstyle \beta$ formado por la fuerza y la aceleración es:

$\cos \beta = \frac{1+\cfrac{v^2}{c^2}(1-\cos^2\alpha)}{\sqrt{\left(1+\cfrac{v^2}{c^2}(1-\cos^2\alpha)\right)^2+\cfrac{v^4}{c^4}\cos^2\alpha\sin^2\alpha}}$
Para el movimiento rectilineo se tiene que $\scriptstyle \sin \alpha = 0$ y por tanto $\scriptstyle \beta = 0$ y para el movimiento circular uniforme se tiene $\scriptstyle \cos \alpha = 0$ y por tanto también $\scriptstyle \beta = 0$ . En el resto de casos $\scriptstyle \beta \ne 0$ . Para velocidades muy pequeñas y ángulos expresados en radianes se tiene:

$\beta \approx \frac{v^2}{c^2} \cos\alpha \sin\alpha + O\left(\frac{v^4}{c^4}\right)$

tipos de movimiento